Теория Шуберта, выпуклая геометрия и путь к решению сложных задач. Интервью с Валентиной Кириченко

 — Если посмотреть ленту научных новостей, всегда можно понять, что сегодня, условно говоря, модно. Что привлекает внимание, на что, например, проще получить гранты и так далее. А вот с математикой не так. Она остается закрытой системой, понять которую можно только изнутри. Есть ли в математике мода? И что модно в вашей области –  в алгебраической геометрии? Кто, может быть, считается сегодня звездой? 

— Я занимаюсь вещами, которые связаны с выпуклой геометрией — с многогранниками и всем, что можно пощупать. Само направление выросло из торической геометрии, но сейчас это уже гораздо более широкая область. И один из таких титанов современности — это Андрей Окуньков. Даже есть такое понятие, как «выпуклое тело Ньютона — Окунькова».

— Неплохое соавторство.

— На самом деле у Ньютона были многогранники, а Окуньков развил эту область в наши дни. И сейчас это действительно довольно модная наука. В ней мне нравится то, что можно довольно абстрактные результаты алгебраической геометрии переформулировать в терминах выпуклой геометрии. Например, сколько целых точек в многоугольнике?  Это, оказывается, род некоей алгебраической кривой, что не так просто объяснить. Но одновременно целые точки в многоугольнике и формулы Пика можно объяснять даже школьникам. 

— А какие нерешённые задачи вам интересны? 

— Я занимаюсь не столько классической алгебраической геометрией, сколько её пересечением с теорией представлений. Есть такие алгебраические объекты с большой внутренней симметрией. Это называется «исчисление Шуберта» и это тоже очень модная тема за счет ее многогранности. Там есть и комбинаторика, которой могут заниматься люди, совсем далёкие от алгебраической геометрии и её представлений. Там тоже много интересного, много разных открытых задач. Мне очень нравиться брать все эти задачи и пытаться их переосмысливать через выпуклую геометрию, искать более явное красивое решение. 

— А какие именно задачи, в чем основная сложность в поиске решения?

— Был такой Герман Шуберт — и это не композитор. «Берлиоз — не композитор», как это было у Булгакова. Герман Шуберт жил в XIX веке, он был школьным учителем и притом еще именитым математиком. Ему очень нравился Гамбург, в котором тогда еще не было университета, и он преподавал математику в гимназии, будучи уже всемирно известным учёным. В наше время сложно себе представить, чтобы школьный учитель публиковал научные статьи, которые знал весь мир. У него даже была очень известная монография «Исчисление исчислительной геометрии» («Kalkül der abzählenden Geometrie»). В общем, он решал разные задачи почти с помощью черной магии. Например, такая задача: даны четыре попарно скрещивающихся прямых в трехмерном пространстве. Сколько прямых пересекает все четыре? Сходу даже невозможно себе представить, может ли такое вообще быть — какие-то четыре прямые, а нам нужна одна, которая через все пройдет. Тем более интересно, что недавно эту задачу использовали физики-экспериментаторы. Вот им реально понадобилось уравнение прямой, которая пересекает все четыре.

— Что это был за эксперимент?

— Есть такая машина – ХАДЕС (англ. High Acceptance Di-Electron Spectrometer), то есть почти Аид из древнегреческой мифологии. Это спектрометр, который находится в Дармштадте. И вот немецкие физики в коллаборации с нашими учеными из Дубны   обсчитывали результаты, которые приносит эта машина. Физически у них в установке  висит частица, а датчики пытаются определить ее траекторию при предположении, что она летела по прямой. Они брали два датчика, проводили уравнение прямой, писали и смотрели, попадает частица или не попадает. Этот процесс очень долгий, чтобы просчитать все траектории за месяц на современном компьютере уйдет лет десять. Они поняли, что нужно рассматривать четыре датчика, воспользовавшись тем, что это не точки, а именно отрезки прямых. Так что по данным четырем прямым им нужно было написать уравнение прямой, пересекающей данные. И они тут же сделали какую-то инсталляцию! За образец мысленно они взяли козлы, на которых дрова пилят. На четыре бревна всегда можно положить пятое и оно точно ляжет, коснётся всех четырёх, и его можно будет пилить. Они всё это открыли сами, а потом увидели мою статью про исчисление Шуберта и обратились ко мне, как к главному русскоязычному эксперту по этой теме. У Шуберта был метод, который позволял точно сказать, сколько таких прямых будет. 

— А в чем здесь была его черная магия?

— Ну, это самая простая задача, были и посложнее. Допустим, на плоскости нарисовано три окружности, сколько окружностей коснётся всех трёх? Шуберт получил ответ на эту задачу! А среди среди прочего Шуберт решил задачу, ответом в которой было девятизначное число! И он был совершенно верный! Как пишут современные алгебраические геометры, это как если бы человек вслепую сажал громадный самолет и посадил его точно на полосу. То есть Шуберт разработал метод, но у него, с современной точки зрения, не было никакого обоснования. Метод исчисления Шуберта — это реально чёрная магия без возможности обоснования. 

— Это очень интересно, потому что, если возвращаться к физикам,  раньше считалось, что математике много идей дает теоретическая физика. А сейчас это как будто не столь очевидно.   

— Да! Но интересно, что обычно математики контактируют с физиками-теоретиками, а тут физики-экспериментаторы. Ведь всегда интересно, насколько твои задачи вообще приложимы к нашей Вселенной. Может быть, это какие-то абстрактные теории, у которых нет приложения. Так что здорово, когда физики берут это и прилагают, и реально этим методом они обработали очень много вычислений. А так бы они просто не справились!

— Если продолжать связь реальной Вселенной и алгебраической геометрией, то на ум сразу приходит GPS  и всякие подобные системы. Но может быть есть еще что-то не столь очевидное?   

— Исчисление Шуберта стало популярным в XIX веке, но потом интерес как-то заглох. То есть у Гильберта одной из его проблем под номером 15 стояла как раз задача  обосновать исчисление Шуберта. И как-то, худо-бедно, его обосновали, но не всё. Есть какие-то задачи, которые до сих пор не обоснованы современными методами. Ну, решили, что в целом обосновали и всё, отложили, забыли. А потом через сто лет оказалось, что все эти абстрактные вычисления нужны теоретической физике.  Причём интересно было, что математики что-то пытались посчитать и не смогли. Они дошли до какого-то предела, и тут наша наука сказала, что всё, она больше не может. А физики посчитали дальше. И помогла здесь теория струн. Можно в нее верить или нет, но для математики она очень интересна, так как решает чисто математические задачи какими-то совершенно не математическими методами.

— Сегодня в России есть несколько вузов, куда стоят в очередь студенты, мечтающие изучать математику. Мне казалось, что всегда таким топовым местом был мехмат МГУ, но в 90-е годы после крутой математической школы вы  туда не пошли.  Почему?

— В лихие 1990-е стало возможным учиться в негосударственных учебных заведениях. Это казалось немножко стрёмно, но вроде можно. Интересно, что тогда на мехмат МГУ не было вообще никакого конкурса, то есть учись — не хочу. Народ шёл на экономический, психологический, юридический факультеты. Туда было просто невозможно пробиться. А вот на мехмат поступили просто все, кто хотел. 

— Почему вы все-таки выбрали Независимый Московский университет?

— Ну мне не нужна была отсрочка от армии. и я решила попробовать. На мехмате всегда было очень много какой-то бюрократии, нужно было ходить на физкультуру и тому подобные предметы, которые, собственно, отвлекали, как мне казалось, от математики. Но на самом деле тогда многие учились и там, и там, потому что Независимый университет делал занятия вечером — специально для дополнительного образования. 

— А на имена тогда не шли? Кажется, что тогда все уехали, но кто-то же преподавал?

— Да, в 1990-е многие уехали, но некоторые поддерживали связь с родиной как раз через Независимый. Например, Аскольд Георгиевич Хованский работал и в Торонто, и в России. В итоге оказалось, что Независимый —  такое место силы, куда приезжают большие специалисты учить московских студентов. А мехмат тогда таковым не был. Так что в целом я не жалею, что окончила только Независимый. Хотя теперь я вижу, что вообще-то больше почти никто не последовал моему примеру. Тем более, что потом у Независимого отняли лицензию на полное образование и вообще стало видно, что частное высшее образование у нас в России как-то не прижилось. 

— Как в 1990-е студенты выбирали, чем заниматься? Что казалось перспективным?  

— Стала очень популярна экономика. В советские времена экономику все ненавидели, потому что она была марксистская, а в 1990-е подул ветер свободы, народ понял, что  это тоже наука. Хотя в школе нас готовили, конечно, на мехмат. Интересно, что мы были ещё наследниками таких чёрных времён, когда на мехмат не брали евреев. Мы учились в школе, которая была нацелена на то, что «даже евреев мы сумеем подготовить так, что они смогут пройти». 

— Подождите, в 90-е? Это разве еще было актуально?

— Да! Это был 1996 год и уже 7 лет, как спокойно принимали всех, но у меня был одноклассник, который всё равно жутко волновался, что его завалят, потому что у него отчётливо еврейская внешность.  Конечно же, он поступил, и всё было нормально. Причём, кстати говоря, мне на экзамене попался экзаменатор из тех, кто могли бы и завалить, потому что он у меня спросил: «Что такое угол?» А нас в школе учили — если тебе задают этот вопрос, всё, можно лапки кверху задирать, потому что тебя завалят.

Наколка тут в том, что есть ответ из учебника, что  угол — это фигура из двух лучей с общим концом. А попробуйте определить косинус угла — это невозможно строго сделать. Какая-то фигура, а тут её аналитические функции, которые вообще-то от произвольного вещественного аргумента! То есть если у вас спрашивают, что такое угол, видно, что потом завалят. Но у преподавателя, возможно, был свой интерес: он не собирался заваливать, он видел, что меня натренировали на таких, как он. Ему было интересно посмотреть, что я могу.

— И что же вы ответили?

— Определение из учебника, конечно же! На что он ехидно сказал: «Ну посмотрим, что тут можно вывести…», но потом плюнул, поставил «десятку» и отпустил. 

— Если возвращаться к областям математики, которые тогда казались перспективными, что же тогда было модным?

— Вы знаете, математика такая медленная наука, что мода может длится столетиями. Например, взять хотя бы исчисление Шуберта — в XIX веке это было перспективным, потом интерес сошел на «нет», потом опять стало перспективным. А вот чтобы за 20-30 лет что-то совсем вышло из моды — ну нет, это слишком короткий исторический срок!

— Как же тогда в принципе выбрать, чем заниматься? Как это происходит?  Как правильно?

— Тут каждый решает сам. Мне всегда нравилась топология, и я об этом сообщала каждому следующему научному руководителю. На что мне отвечали: «Но я-то не тополог! Вот, у меня есть такие и такие задачи». И всё время и получалось, что я выбирала, конечно, людей и для меня было вторично, чем заниматься. Важнее было то, смогу ли я с человеком найти общий язык? Он думает похоже на то, как я думаю, или у него какое-то совершенно другое мышление? Я шла к тем, про кого мне было понятно, что мы думаем одинаково. На третьем курсе у меня был руководителем Миша Финкельберг, он мне дал изучить работа филдсовского лауреата того времени Борчерда, очень интересную, но очень сложную.  И я вскоре попросила дать мне задачу, которую я могла бы решить сама. На что Миша ответил: «Ну, у меня нет задач, доступных твоему пониманию» и отвел меня к Михаилу Анатольевичу Цфасману. Он мне тоже дал задачу, скорее тоже чтобы выучить. Я поняла, что прежде, чем ты сама сможешь что-то решить, пройдёт 10 лет, и то непонятно — выйдет или нет.  На пятый год я пошла к Хованскому. Я уже брала его мини-курс, я понимала, что он думает так же, как я. С ним уже стала заниматься, хотя поначалу он мне тоже дал что-то такое типа «выучи, что другие люди сделали». 

Я сейчас понимаю, что это очень правильно, в молодом возрасте нужно как можно больше учить, потому что у тебя еще гибкий мозг и материал хорошо ложится.  Но, пока ты молод, тебе хочется немедленно опубликовать статью. Так что я поехала в Торонто к Хованскому и там стала заниматься с Мишей Капрановым. И он наконец дал аккуратненькую хорошенькую гипотезу, я её доказала и у меня получилась статья. Но только я эту статью опубликовала, как тут же ощутила полное разочарование: какой в этом был смысл вообще? Так я поняла, что задачу нужно выбирать ту, которая мне самой кажется осмысленной. 

— И как это произошло в итоге?

— У моего научного руководителя Аскольда Георгиевича был ученик, который решал очень интересную задачу, а потом остыл. И я эту задачу подобрала и решила. Ну, а потом уже как-то я втянулась в эту область алгебраической геометрии, пересечения с теорией представления, и дальше стала находить свои задачи.

— Возвращаясь к студентам: есть ли какой-то  короткий маршрут, который должен пройти молодой человек, который  хочет построить карьеру в этой не самой просто области?

— Вы знаете, если математика — наука медленная, то вот способы построения карьеры меняются каждые десять лет. Мои лайфхаки относятся к началу нулевых. Тогда хорошо было поехать в западную аспирантуру. А с экономической точки зрения это иногда было просто необходимо, потому что тут совсем не платили денег. Нужно было выбрать хорошую аспирантуру, а не какой-то кукурузный колледж на Среднем Западе. Но, одновременно,  не самое понтовое, потому что там, скорее всего, у преподавателей не будет времени с тобой заниматься.   Дальше — работа над диссертацией — это то время, когда ты не скован карьерными перспективами и можно получить действительно интересный результат.  На Западе, мне нравилось, что тебя не торопят, ты можешь погрузиться в задачу и сделать что-то выдающееся. Есть довольно известный математик Миша Хованов, который просидел шесть лет в аспирантуре Йельского университета, но зато получил результат. И сейчас все знают о когомологиях Хованова.  

Сейчас, конечно, всего этого нет. Сегодня нужно активно публиковаться, и это  немного обесценивает работу. Часто вместо одной хорошей статьи теперь пишут три средненьких или пять плохоньких. Существуют математики, которые пишут десятки статей в год, но у них идет копипаст из одной статьи в другую. Мне кажется, это уже не математика, а некое приложение того, как можно делать в компьютерных науках: скажем, сегодня алгоритм работает эффективнее на 10 % , завтра еще на 10.  Но в математике-то всё-таки не так. Ты просто не можешь сказать: «Я понял это на 50 %, а в следующем году на 60 % пойму!» Но сейчас, похоже, мы к этому пришли. Поэтому я даже не знаю, какие советы дать молодёжи.  Сейчас я со своим темпом публикаций просто не нашла бы работы! Мне кажется, что всё катится куда-то не туда, потому что свободный рынок для математики не очень хорош. В «Математических прогулках» Юрий Иванович Манин прямо так и говорит, что рынок плох для трёх вещей — медицины, образования и науки. Я в молодые годы такого утверждения не понимала, мне казалось, что свободный рынок — это прекрасно, а сейчас скорее склонна с ним согласиться. 

— Если касаться каких-то областей и тем, есть ли сегодня какие-то выигрышные области, куда стоит пойти, если ты хочешь какого-то быстрого продвижения? Или это, опять же, рыночный подход?

— Я бы скорее сказала, что существуют выигрышные научные руководители, про которых известно, что они умеют пристраивать своих учеников. Например, в мое время говорили, что если пойти к Бернду Штурмфельсу, то тебе карьера будет обеспечена. Я не поехала, потому что мне всё-таки важно было заниматься чем-то действительно интересным, а не просто делать карьеру. 

— Мне всё-таки хочется услышать про какие-то области математики, которые сегодня если и не топ, то хотя бы… я не знаю, обычно, когда проходит международный конгресс, и глядя на темы пленарных заседаний становится понятно, что топ, а что – нет.  

—У меня есть коллега Миша Вербицкий, который умеет объяснить, что такое «топовая математика». У него даже есть термин core mathematics  –  «ядро математики», которому, как он считает, нужно учить, а всему остальному- не нужно. Но я так не умею. 

Допустим, я раскопала какую-то задачу и вдруг обнаружила, что сто или двести лет назад с ней была связана другая интересная математика. И я не могу сказать, что она не модная. Я понимаю математику как протяжённую во времени общечеловеческую деятельность,  и воспринимаю ее как диалог математиков современности с математиками прошлого. И в этом плане она вечная. Нет такого понятия, как «сиюминутная математика». Может быть, она существует, но только с точки зрения грантов, а не с точки зрения самой математики.

— А что выгодно с  точки зрения грантов?

— Мне кажется, сейчас модно всё, что связано с компьютерными науками. Как   раньше физика отпочковалась от математики и стала самостоятельной, сейчас то же самое делают компьютерные науки (как науки, непосредственно вышедшие из математики). И там очень много областей, в которые, в принципе, можно вернуть обратно в математику — сделать, как в теоретической физике и математике (взять хотя бы ту же теорию струн). Мне кажется, что в компьютерных науках вполне может появиться такой аналог теории струн, какая-то такая область, которая вырастет среди компьютерных наук, но будет интересна и математикам. Вот это было бы очень круто. Но я пока не знаю, что это такое. Возможно, что-то связанное с искусственным интеллектом. Там все вертится вокруг нейросетей, которые пока никто не понимает, как работают.  

— Если говорить о математическом образовании, то сегодня есть две точки зрения: кто-то считает, что можно научить математике с детского сада, а кто-то — что если человеку дано, то его и учить особо не надо, так как рано или поздно он сам станет математиком. На ваш взгляд, популяризация, раннее образование — насколько это важно? Учитывая, что все чаще говорят о катастрофически низком уровне математического образования во всем мире.

— Вы знаете, подобное мнение вечно. Мы недавно редактировали сборник эссе американских математиков «Математика будущего», которая вышла в 1981 году,  там сплошные эсхатологические настроения: «Всё ужасно! Если всё так и дальше пойдёт, у нас вообще математики не будет! Посмотрите, девочки у нас не берут алгебру в старших классах! Это что же получается, у нас полстраны, все женщины не будут вообще никакой математики знать?! Нужно срочно убрать этот свободный выбор, пусть девочки учат алгебру!» … И ничего! 40 с лишним лет прошло — всё нормально вроде бы. Ну и у нас, понятно, были такие же настроения. Мне кажется, это правильно: надо бояться, что всё будет плохо, чтобы всё-таки не становилось так плохо.

— Просто когда слышишь от каких-то уважаемых людей довольно обоснованное мнение на счет того, что школьное математическое образование деградирует, становится не по себе.   

— Конечно, общее образование постепенно деградирует. Но происходит это потому, что сейчас очень сильный упор делается на олимпиады. Если нас учили, например, разным необязательным вещам, которые никак не помогали выигрывать олимпиады, но помогали развивать математическую культуру, то сейчас этому почти не учат. Потому что придут родители и возмущённо скажут: «А зачем эти эпсилон — дельта? Это в каких-нибудь олимпиадах есть? Чему это вы учите? Конструкции из частных чисел (т.н.«Аксиомы Пеано», какой-то анализ — зачем это всё? На олимпиадах нет анализа!! Вы бы лучше ещё олимпиадные задачки порешали!» 

— Получается, что упор делается на олимпиады, а средний уровень проседает?

— Математическая культура в школах падает, да. Если раньше к нам приходили уже математически зрелые студенты, с которыми можно было разговаривать, как с молодыми математиками, то сейчас их нужно для начала приобщить к культуре, чтобы они заговорили на одном со мной языке, и тогда уже потом их учить в том темпе, который мы могли раньше брать прямо с первого курса. Мы замедляемся, и это видно даже по нашей программе: если раньше у нас была идея за два года научить всему обязательному, а ещё два года давать курсы на выбор или научные работы, сейчас первый обязательный этап растягивается уже на три года. 

— А когда вы говорите, что нужно погрузить в математическую культуру — через что это происходит?  

— Так система Константинова же! Знаменитая система, когда раздаются листочки с задачами — но не олимпиадными, а такими, которые позволяют пункт за пунктом подняться, как по лестнице, и изучить какой-то предмет. Первая задача очень простая, следующая опирается на предыдущую, и в результате человек учит анализ. Это прямо было придумано: 300 задач — и человек выучил анализ первого курса университета. Это реально работало и работает. При этом преподаватель  зачастую – это  студент, который может быть всего на пару лет старше, чем школьник. У них очень неформальные отношения. Одновременно и школьнику не страшно, что он сделает какую-то глупость, и студент его может поправить, потому что он сам ещё помнит, в чём у него были проблемы в этом возрасте. Но это очень много часов. Такое реализовать крайне проблематично. Мы пытались нечто подобное сделать на матфаке, но это оказалось невозможно. Когда на курсе сто человек,  невозможно у каждого индивидуально принимать задачи. А главное, что не всем хочется. Некоторые берут, заучивают чужие решения и как попугаи приходят их долбить. То есть они сами не понимают, в чём смысл этой деятельности. А в матклассах это было поставлено: 4 часа в неделю уходило примерно на вот такие индивидуальные беседы. Я сама по себе помню, что это было очень важной компонентой.  

— Современные ребята, которые приходят — под что они заточены? Какие у них представления о математике, о жизни? Чего они хотят, когда поступают? Хотят ли они заниматься чистой математикой?

— Сложный вопрос. Глядя, например, на наклонности моего сына, я проблему вижу буквально изнутри. Он похож на типичного студента матфака,  он очень умный и быстро решает разные нестандартные задачи, правда, при условии, что они быстро решаются.  А если не решилась – то и ладно, не очень-то и хотелось.  И вот у нас очень много таких ребят. Они сюда пришли, потому что чувствуют, что они не такие, как все, что они очень умные, им нужна особая среда. Но это не значит, что они любят математику. Может быть, им нужно что-то другое. Половина из тех, кто пришёл на матфак не знают, что им нужно.  Но мы стараемся создать такую атмосферу, где они могли бы раскрыть свои таланты. Зачастую, впрочем, получается так, что они четыре года отучились и пошли в какой-то старт-ап. И там просто выросли, как на дрожжах. Но заранее сказать, чем они будут заниматься, невозможно. Очень многие наши выпускники работают в фирмах, где нужен человек с нестандартным мышлением, который может творчески созидать, но это не математика. Это нечто совсем другое. Однако важно именно то, что у них вот такое нестандартное мышление. 

— А чем выделяются настоящие математики? 

— У них постоянно что-то крутится в голове. Был такой замечательный математик Звонкин, который вел кружок по математике для детей, куда ходил его сын  Дима. И вот однажды он задал вопрос: «Чего больше — прямоугольников или четырёхугольников?»? Дети, конечно, сказали, что прямоугольников, потому что это для них двери, стены, окна, а четырёхугольники они где видели-то? Ну и ладно. А у него был такой метод, что он никогда их не поправлял. Ему было интересно, как они думают. И вот Звонкин говорит: «Хорошо, проехали, другая задача!» И через полгода Дима, его сын, идёт рядом с ним на прогулке и говорит: «Слушай, папа, мы тогда ответили, что прямоугольников больше, но я вот думал, думал и считаю, что больше всё-таки четырёхугольников!» Вот признак настоящего математика: через полгода он вернулся к какому-то вопросу и понял, что тогда был неправ, а теперь он прав. То есть он нашел истину. Мне кажется, математики — это люди, которые ищут истину. У них в голове постоянно какой-то поиск идет.

— А от курса сколько таких? 

— По-разному бывает. Иногда случается один, какой-то очень яркий, но такое происходит не каждый год. И тогда у студентов развивается комплекс Саши Петрова.   У нас как-то был такой набор, где было человек 20 ярких, но Саша Петров их как бы всех затмил. А бывает такой курс — более ровный, где 5-10 человек, у них одна компания, они вместе всюду ходят. Обычно от 5 до 10, редко больше.

— И, в принципе, этого достаточно, чтобы поддерживать математику в живом состоянии?  

— Достаточно! Я полностью с Юрием Ивановичем Маниным согласна, который даже дал точную оценку. Он говорил, что в мире всего около нескольких тысяч математиков — ну, в общем-то, примерно так и есть! Понятно, что университет нельзя построить, обучая только 10 студентов. Конечно, нужно больше учить. И что теперь? 10 есть каждый год? И вот этого достаточно, чтобы поддерживать математику.

— А то, что касается популяризации математики? Насколько сегодня нужно этим заниматься сверх того, что сейчас делается? Потому что всё-таки много чего есть. Или на этом уровне достаточно, и в принципе, всё будет неплохо?

— Я одно время сама занималась популяризацией математики, у меня были какие-то амбиции. Мне это очень нравилось. Но у меня это как-то не пошло. Я поняла, что у меня всё-таки больше такой арт-хаус. В том смысле, что я не могу, как Савватеев — вот его, да, толпы смотрят на YouTube.   Хотя одно время даже в грантах было такое требование в отчёте: повышать популярность. Вот это, мне кажется, зря, потому что есть математики, которые просто неспособны это сделать.   

— Возвращаясь немножко к идеям, гипотезам, задачам, которые математик для себя выбирает — если это не физика и не теоретическая физика, то откуда они берутся? Что является генератором идей и задач, может быть, для вас, а может быть, и более широко как-то можно ответить?

— Из жизни, из разговоров с коллегами. Например, я по своему невежеству не знала, что такое луночки Гиппократа (серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей, указаны Гиппократом Хиосским 5 в. до н.э.- ред.). И какой-то коллега в сердцах, когда мы что-то обсуждали (кажется, это были учебные планы — это всегда такая острая тема, чему учить, чему не учить!), бросил: «Мы же не учим студентов луночкам Гиппократа вместо интегралов! Типа это каменный век». Я поразилась: «Что за луночки Гиппократа?», полезла копать эту тему, и там в каждой второй популярной книжке написано, что данная задача давно решена. Её Чеботарёв решил и ещё кто-то. И везде какие-то пробелы. Я понимаю, что её давно решили! В конце концов я нашла короткую статью, уже нашего века, и там объясняется, что нужен этот, этот и вот этот результат, только вы её решите! И всё это было получено в XX веке, но только в XXI веке сообразили, что всё это вместе даёт решение.

Мне кажется, математика действительно так построена: кажется, что всё сделано, а на самом деле, то там, то тут обнаруживаются дырки, неверно доказанные теоремы, забытые решения и так далее. Так что если проявлять любопытство к тому, что происходит вокруг тебя, всё время будут находиться  интересные задачи.

_{Опубликовано при поддержке гранта Минобрнауки России в рамках федерального проекта «Популяризация науки и технологий» № 075-15-2024-571}.