• Добавить в закладки
  • Facebook
  • Twitter
  • Telegram
  • VK
  • Печать
  • Email
  • Скопировать ссылку
10 апреля
ЮФУ
302

В ЮФУ нашли новый подход к определению больших и малых пространств Лебега

4.4

Применение теории экстраполяции в определении больших и малых пространств Лебега открывает перспективы для новых направлений в математике. Ученые ЮФУ ожидают, что их исследование станет отправной точкой для развития новых теорий и методов в этой области, что поможет решать сложные проблемы с высокой точностью и эффективностью.

Директор Регионального научно-образовательного центра ЮФУ Алексей Карапетянц / © Демьяновских Артем Витальевич, Центр общественных коммуникаций ЮФУ

В математике, при решении реальных задач и построении математических моделей, функции играют ключевую роль. Известные нам со времен школы, они представляют собой не только абстрактные концепции, но и основу для описания физических процессов и явлений. Так, сегодня ученые используют в своих исследованиях совокупность таких функций, объединенных по некоторому признаку, которые в математике называют классами или пространствами функций. Для чего же это нужно? Функции могут описывать как начальные (исходные) условия, например температуру, скорость или положение объекта в начальный момент, так и само решение задачи, характеризующее конкретный физический процесс в зависимости от времени или от других параметров.

В обычной жизни мы привыкли работать с обычными числами, например, средней температурой или максимальной. Однако, иногда нам нужно уметь измерять глобальные характеристики объектов (функций), которые могут варьироваться по разным параметрам, например, по времени или по местоположению. Пространства Лебега как раз предоставляют инструменты для работы с такими сложными функциями: вместо того, чтобы просто смотреть на значения функции в конкретных точках, мы можем анализировать их в целом, учитывая их распределение, вариации и другие характеристики. Это особенно важно, например, при анализе физических процессов, которые описываются не в каждый момент времени, а некоторыми глобальными данными.

Интересно, что все функции, которые мы строили на графиках в школе, существуют в так называемом банаховом пространстве – нормированном векторном пространстве, полностью определенном нормой. В зависимости от области применения существуют разные подходы к тому, какие законы геометрии работают в этом пространстве: эвклидова геометрия, геометрия Лобачевского и так далее. При этом все функции, у которых интегрируется степень, существуют в Лебеговом пространстве. Однако работа с функциями в этом пространстве может быть сложной из-за его особых математических законов, поэтому математики давно пытаются упростить расчеты в нем.

В Южном федеральном университете над этой проблемой работает директор Регионального научно-образовательного центра ЮФУ Алексей Карапетянц. «В процессе построения математической модели зачастую приходят к интегральным уравнениям, в которых фигурируют эти самые функции. Но также часто оказывается, что геометрия исходного объекта не очень хороша для последующих приближенных вычислений, ввиду чего прибегают к искажению исходного пространства — замене координат.

При этом изучаемые объекты (области интегрирования) преобразуют в более подходящие для применения численных методов. Но это искажение пространства влечет за собой появление некоторого множителя в интеграле, отвечающего за это искажение, после чего вся подынтегральная конструкция может перестать быть интегрируемой из-за появления дополнительной особенности», – рассказал Алексей Карапетянц.

Ученый также отметил, что выходом было бы расширить исходное пространство функций так, чтобы после добавления этой особенности полученный объект продолжал бы оставаться в исходном классе функций, то есть быть интегрируемым. С другой стороны, расширение означает загрубление последующего результата, поэтому нужно обеспечить такое расширение, которое бы было больше исходного, но одновременно это расширение было бы практически «неуловимым».

Здесь в работу вступает так называемый «инфинитезимальный анализ», или анализ «бесконечно малых», некоторая философия математики, которая привычна для математиков уже много столетий, но в современном мире трактуется как что-то новое в приложениях и смежных областях наук.

Собственно, таким образом и появилось понятие «больших» пространств Лебега, которые больше самих классических пространств Лебега, но эта разница неуловима, если пытаться ее «измерить». Эти пространства функций возникли в работах Карло Сбордоне (Италия) и Тадеуша Иванеца (США/Польша) в начале 1990 годов. Однако предпосылки были получены в более ранних работах Николая Карапетянца и Бориса Рубина (РГУ, ныне-ЮФУ).

В новой работе, результаты которой опубликованы в журнале Mathematical Methods in the Applied Sciences, Алексей Карапетянц в соавторстве с математиком из Ярославля, партнером Математического Центра ЮФУ- Евгением Бережным, предлагает новую модель построения Больших пространств Лебега путем экстраполяции – хорошо знакомой математической операции.

«Наша работа является расширением уже классической теории на некоторые предельные показатели. Мы использовали новый в данном контексте метод, основанный на теории экстраполяции, то есть, когда математически “прогнозируются” свойства нового объекта на основе некоторого предельного перехода (экстраполирования). Данный подход позволяет проводить исследование в существенно более общей постановке, то есть обеспечивает унифицированную модель для широкого класс объектов», – объяснил ученый.

Ожидается, что это исследование откроет новые горизонты в теории больших и малых пространств Лебега, предоставляя математикам новые инструменты для анализа и решения сложных задач в различных областях науки и техники. 

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl + Enter.
Южный федеральный университет образован в рамках национального проекта "Образование" распоряжением Правительства Российской Федерации от 23 ноября 2006 года N1616-р (pdf) и приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 4 декабря 2006 года N1447 путем присоединения к Ростовскому государственному университету трех вузов: Таганрогского государственного радиотехнического университета, Ростовского государственного педагогического университета, Ростовской государственной академии архитектуры и искусств.
Подписывайтесь на нас в Telegram, Яндекс.Новостях и VK
Предстоящие мероприятия
Вчера, 15:12
Андрей

Европейские гляциологи, используя первые снимки Восточной Антарктиды 1937 года, а также фотографии середины XX века и современные спутниковые данные, отследили, как менялись ледники в этом регионе на протяжении 85 лет.

Вчера, 14:07
МГППУ

Психологи из МГППУ выяснили, что непосредственный контакт глаза в глаза (без слов) существенно влияет на оценку индивидуальных черт незнакомого человека и уровень доверия к нему. Они проверили гипотезу, как меняется представление о незнакомце по фото и при визуальном контакте с ним. Ученые определили, что люди с квадратным типом лица, чаще получают неправильную оценку своего характера от незнакомцев по фотографии. Но независимо от формы лица, повторная оценка после контакта взглядов отличается более положительными индивидуальными чертами.

Вчера, 13:04
Ольга Иванова

Американские ученые показали: стереотип о том, что женщины, склонные заниматься случайным сексом, имеют более низкую самооценку по сравнению с другими дамами, не выдерживает критики.

24 мая
Игорь Байдов

С помощью космических и наземных телескопов международная команда астрономов открыла похожий на нашу планету мир в так называемой зоне обитаемости, позволяющей воде существовать на поверхности тела в жидком состоянии. По космическим меркам экзопланета находится достаточно близко к Земле и, вероятно, представляет собой скалистый мир с благоприятным для жизни климатом. Подобные миры астрономы открывают крайне редко.

Вчера, 15:12
Андрей

Европейские гляциологи, используя первые снимки Восточной Антарктиды 1937 года, а также фотографии середины XX века и современные спутниковые данные, отследили, как менялись ледники в этом регионе на протяжении 85 лет.

24 мая
Полина Меньшова

Чрезмерный или неконтролируемый просмотр порноконтента, как правило, связан с особенностями психологического и эмоционального состояния человека. Какие именно факторы вызывают потребность в видео «для взрослых», объяснили специалисты из Австралии.

15 мая
НИУ ВШЭ

Международный коллектив исследователей при участии ученых из Института когнитивных нейронаук НИУ ВШЭ изучил, как выбор иностранного языка влияет на когнитивные способности человека. Оказалось, что языки, непохожие на родной, стимулируют когнитивную функцию на начальном этапе их изучения, а близкие к родному имеют отложенный эффект и помогают мозгу эффективнее работать при более высоком уровне владения иностранным языком.

3 мая
Василий Парфенов

Ледяной покров Антарктики претерпевает значительные изменения на протяжении года, и его поведение хорошо изучено в общем. Но некоторые локальные аномалии объяснить не получается вот уже несколько десятилетий. Одна из них — полынья возвышения Мод, или полынья моря Уэдделла, которая появляется нерегулярно на одном и том же месте. Международная команда океанологов, наконец, смогла разгадать механизмы ее образования.

24 мая
Игорь Байдов

С помощью космических и наземных телескопов международная команда астрономов открыла похожий на нашу планету мир в так называемой зоне обитаемости, позволяющей воде существовать на поверхности тела в жидком состоянии. По космическим меркам экзопланета находится достаточно близко к Земле и, вероятно, представляет собой скалистый мир с благоприятным для жизни климатом. Подобные миры астрономы открывают крайне редко.

[miniorange_social_login]

Комментарии

Написать комментарий

Подтвердить?
Подтвердить?
Причина отклонения
Подтвердить?
Не получилось опубликовать!

Вы попытались написать запрещенную фразу или вас забанили за частые нарушения.

Понятно
Жалоба отправлена

Мы обязательно проверим комментарий и
при необходимости примем меры.

Спасибо
Аккаунт заблокирован!

Из-за нарушений правил сайта на ваш аккаунт были наложены ограничения. Если это ошибка, напишите нам.

Понятно
Что-то пошло не так!

Наши фильтры обнаружили в ваших действиях признаки накрутки. Отдохните немного и вернитесь к нам позже.

Понятно
Лучшие материалы
Войти
Регистрируясь, вы соглашаетесь с правилами использования сайта и даете согласие на обработку персональных данных.
Ваша заявка получена

Мы скоро изучим заявку и свяжемся с Вами по указанной почте в случае положительного исхода. Спасибо за интерес к проекту.

Понятно
Ваше сообщение получено

Мы скоро прочитаем его и свяжемся с Вами по указанной почте. Спасибо за интерес к проекту.

Понятно

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: