Дела на миллион: математические «Задачи тысячелетия» доступным языком — Naked Science
23 минуты
Редакция
3

Дела на миллион: математические «Задачи тысячелетия» доступным языком

4.5

Август 1900 года ознаменовался проведением в Париже II Международного конгресса математиков, на котором один из корифеев науки Давид Гильберт сформулировал наиболее кардинальные проблемы, требующие разрешения. 23 проблемы Гильберта определили многие ключевые направления развития математики в прошлом столетии.

maxresdefault
©Wikipedia

К началу XXI века почти все они были решены, либо покинули список по другим причинам – например, как нечетко сформулированные, – и сто лет спустя после Гильберта математик Стивен Смейл выдвинул новый список 18 проблем, стоящих перед математиками и физиками нашего времени. Попытку Смейла можно засчитать, однако куда большую известность получил альтернативный вариант, предложенный авторитетным американским институтом Клэя. Семь проблем были названы на громком мероприятии, специально организованном в Париже. Одна из них, гипотеза Римана, перекочевала еще из списка 1900 года, а еще одна – гипотеза Пуанкаре – оказалась доказанной уже два года спустя. 

Naked Science представляет краткий обзор «Задач тысячелетия», за решение каждой из которых институт Клэя готов выплатить миллион долларов. Кстати, это касается и гипотезы Пуанкаре: заслуженный миллион по-прежнему ожидает выплаты, и пока что Григорий Перельман отказывается принять награду. Разумеется, мы упростили многие моменты, постаравшись объяснить задачи так, чтобы суть была понятной даже человеку, совсем далекому и от высшей, и какой-либо другой математики.

1. Равенство классов P и NP

Область: теория алгоритмов 
Предположено в начале 1970‑х, остается нерешенным

Представьте, что вам надо закупить офисной техники, мебели и канцтоваров на 500 тыс. рублей – и вы просматриваете прайс-лист поставщика. Вы можете выбрать, что хотите, но в списке обязательно должны быть два принтера, одно кресло руководителя, 50 шариковых ручек, остальное по желанию. Сколько комбинаций возможно? Это вариант «задачи о ранце», которая в классическом виде состоит в том, чтобы уложить в объем рюкзака как можно больше вещей определенного объема и стоимости. Проверить конечный вариант легко, но найти его сложно. К этим задачам, кстати, относится и «вскрытие» чужого пароля, который шифруется таким образом, что система может легко проверить его корректность, но взломщику практически невозможно вычислить правильный вариант в море альтернативных решений зашифрованной строки. 

Диаграмма классов сложности при условии P ≠ NP / ©wikipedia  

Такие проблемы в теории алгоритмов относятся классу сложности NP: их решение можно быстро проверить. Часть из них входят в класс P – те, решение которых еще и легко находится (за «обозримое», или, строже говоря, полиномиальное время). Вопрос состоит в том, всегда ли существуют простые алгоритмы решения NP-задач – то есть, равны ли классы NP и Р. Сегодня предполагается, что ответ на него будет отрицательным: далеко не все задачи, решения которых легко проверяемы, могут быть легко решаемы. Математик из NASA Субит Чакрабарти прогнозирует, что окончательный ответ может быть получен в течение ближайших 50 лет.

2. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Область: математическая физика (гидродинамика) 
Задача известна более ста лет, остается нерешенной

Задача на стыке математики и классической физики вырастает из работ, проделанных еще в XIX в., когда ученые стали формулировать строгие законы, которые описывают движение жидкостей. Полученные тогда уравнения Навье – Стокса остаются одними из важнейших в гидродинамике и аэродинамике. Они позволяют вычислять скорость потока с учетом вязкости, сжимаемости, плотности, давления и т. п., и используются повсеместно. Однако решить их в общем виде до сих пор не удается, и расчеты ведутся лишь для отдельных, частных случаев. 

В решении уравнений Навье – Стокса скрываются многие тайны одного из самых «твердых орешков» современной физики – проблемы турбулентности. С ней современные технологии встречаются повсеместно, от самолетов и подлодок до ветряных электростанций и автомобилей, – но во многом турбулентность остается плохо понятной, плохо просчитываемой и почти непредсказуемой. Поэтому ученые штурмуют эту «Задачу тысячелетия» с особенным упорством. Математик Субит Чакрабарти предполагает, что в течение полувека решение сложных уравнений турбулентности может быть найдено.

Пока же заявку на победу подал казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев, в расчетах которого впоследствии была найдена ошибка, а также узбекский ученый Шокир Довлатов, решение которого еще проверяется. Американский математик Стивен Смейл – лауреат премии Филдса за работы в области топологии. В 2000 г. он возглавлял факультет математики в Калифорнийском университете в Беркли, когда академик Владимир Арнольд – тогда еще президент Международного математического союза (IMU) – предложил ему подобрать список новых проблем на смену уже выполнившему свои задачи списку Гильберта. Смейл подобрал 18 таких задач, из которых некоторые, включая равенство Р и NP, гипотезы Пуанкаре и Римана, решения уравнений Навье – Стокса и т. д., вошли и в список «Задач тысячелетия», подготовленный институтом Клэя.   

Сплошная среда / ©Academic.ru

3. Гипотеза Римана  

Область: теория чисел 
Сформулирована в 1859 г., остается нерешенной

Многие из нас еще со школы помнят о существовании простых чисел – тех, которые делятся только на 1 и на самих себя, как 2, 3, 5, 7, 11 и т. д. Простые числа играют важную роль и в «абстрактной» теории чисел, и в практике – например, в работе криптографических алгоритмов. Если отметить положение всех простых чисел на числовой оси, то мы увидим, что их распределение неравномерно и, кажется, не подчиняется какой-то закономерности, поэтому заранее предсказать, где именно появится следующее простое число, не получается. Однако Бернард Риман показал, что это распределение похоже на точки, в которых дзета-функция – ς(s) = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s + … – обращается в ноль. 

Известно, что нулевое значение она имеет, когда s – отрицательное четное число. Но где еще? Согласно выкладкам Римана, другие нули появляются, если s – комплексное число, содержащее действительную часть 1/2. Задача была названа в числе актуальных еще Давидом Гильбертом в 1900 г. и не решена до сих пор, хотя практически все математики готовы согласиться: расчеты, проведенные даже с использованием суперкомпьютеров и для невероятно громадных простых чисел, подтверждают справедливость гипотезы Римана. Она доказана для примерно 10 трлн первых решений, но в общем виде пока – нет. По словам Субита Чакрабарти, за годы работы над этой проблемой математики продвинулись достаточно далеко, и ответ может быть найден в ближайшие десятилетия.

Действительная (красная) и мнимая (синяя) компоненты дзета-функции / ©wikipedia  

4. Гипотеза Пуанкаре

Область: топология 
Появилась в 1900–1904 гг., решена в 2002 г.

Гипотеза Пуанкаре относится к топологии – одной из самых сложных и молодых областей математики, которая исследует свойства геометрических фигур и их деформаций, происходящих без разрыва. Слепите из пластилина пирамиду – вы легко превратите ее в конус, цилиндр или даже сферу, нигде ничего не склеивая и не разрывая. Слепите бублик – и такой трюк вам уже не удастся, хотя бублик легко деформируется, например в чашку с ручкой. Говоря строже, поверхности сферы и цилиндра гомеоморфны, а сферы и тора – негомеоморфны. Но это для простейшего случая: то, что любая замкнутая (без дырок) двухмерная поверхность гомеоморфна двухмерной сфере, показал еще Пуанкаре. Решение для поверхностей более высоких размерностей потребовало около века. 

Интересно, что для размерностей 5 и выше гипотеза Пуанкаре была доказана еще в 1960-х, а для размерности 4 – в 1980-х гг. Случай с гомеоморфностью любой трехмерной поверхности трехмерной сфере оказался самым сложным. Показать это удалось лишь в 2002 г. петербургскому математику Григорию Перельману, который моментально прославился на весь мир. После серии неприятных интриг и попыток отобрать у него славу первооткрывателя Перельман, и без того имевший славу «сумасшедшего гения», порвал все контакты с официальным математическим миром, отказался от получения денежной премии от института Клэя и ведет затворнический образ жизни, не принимая многочисленные предложения о работе и участии во всевозможных профессиональных мероприятиях и форумах.

©youtube.com

5. Гипотеза Ходжа

Область: алгебраическая геометрия 
Сформулирована в 1941 г., остается нерешенной

Со времен Декарта алгебраическая геометрия достигла большого прогресса в описании форм сложных объектов. Мы можем предложить уравнение, решения которого будут соответствовать той или иной фигуре, например, сферу описать как (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Если объект слишком сложен, мы можем аппроксимировать эту форму, «склеивая» вместе более простые фигуры – тогда ей будет соответствовать решение системы уравнений. Такой подход применяется очень широко, и математики далеко ушли даже от объектов, которым вообще соответствуют какие-либо геометрические аналоги – к тому, что называется более широким термином «многообразие». 

Вопрос состоит в том, насколько этот подход можно применять к особому классу проективных алгебраических многообразий. Шотландец Уильям Ходж нашел остроумный метод, позволяющий проверять соответствие таких многообразий и алгебраические уравнения их представления, однако доказать его справедливость в общем случае пока не удается. Более того, математик Субит Чакрабарти считает эту задачу чересчур «абстрактной» для текущего уровня развития науки – ее решение требует разработки новых, плохо освоенных разделов алгебраической геометрии, и будет найдено очень нескоро. Пока что гипотеза доказана лишь для некоторых частных случаев, и математикам неизвестно, верна ли она в принципе.

6. Теория Янга – Миллса

Область: математическая физика (физика элементарных частиц) 
Возникла в 1950-х, остается нерешенной

Теория Янга – Миллса относится к области физики элементарных частиц, являясь фундаментом современных представлений о них. По сути, это набор уравнений, которые пытаются предсказать поведение частиц и являются попыткой дать объединенное описание трех из четырех фундаментальных взаимодействий природы – сильного, слабого и электромагнитного. Удалось это лишь частично, создав аппарат для описания объединенного электрослабого взаимодействия. Решить уравнения, включив в них сильное взаимодействие, пока не получается, и для него найдено отдельное решение, которое, кстати, привело к открытию кварков. 

Получается, что теория Янга – Миллса включает электрослабое взаимодействие и – отдельно – сильное. Эксперименты показывают, что она в принципе может их и объединить: предсказания уравнений согласуются с экспериментами, как натурными, так и расчетными, модельными. Однако математически доказать это пока не получается. Показано, что такая строгая теория требует построить описания для каждой компактной калибровочной группы – то есть группы преобразований, при которых свойства системы-частицы остаются неизменными (как сдвиг фазы не влияет на свойства волны-электрона), – причем сделать это предстоит для четырехмерного пространства-времени. Субит Чакрабарти предполагает, что решение этой задачи потребует около века и ювелирной работы нескольких поколений математиков.

Янг Чжэньнин / ©wikipedia  

7. Гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера 

Область: алгебраическая геометрия 
Задача выдвинута в начале 1960-х, остается нерешенной

Уравнения, у которых и переменные, и решения являются целыми числами, названы в честь древнегреческого математика диофантовыми. В простейшем их виде они действительно просты – как, например, x2 = y: мы помним, что геометрическим решением такого школьного уравнения будет парабола. Но в более сложных случаях все становится по-настоящему сложным. Более того, еще советский математик Юрий Матиясевич показал, что универсального решения диофантовых уравнений не существует, тем самым ответив на вопрос 10-й проблемы Гильберта. 

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (это два человека – Питер Свиннертон-Дайер и Брайан Бёрч) утверждает, что множество решений эллиптической кривой связано с поведением L-функции в районе 1. Эта функция вычисляется, как уже знакомая нам по гипотезе Римана дзета-функция, и количество рациональных решений бесконечно тогда (и только тогда), когда L(1) = 0. Математик Виктор Колывагин доказал в одну сторону, что если L(1) ≠ 0, то количество рациональных точек конечно. Проделать обратные выкладки не получается никак. По словам Субита Чакрабарти, возможно, что окончательное доказательство этой гипотезы в принципе не может быть получено, о чем говорит ответ на вопрос 10-й проблемы Гильберта. Вероятно, ответы на гипотезу Бёрча – Свиннертон-Дайера будут получены лишь в частном виде. 

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl + Enter.
7 часов назад
4 минуты
Сергей Васильев

Глубоко в носоглотке ученые обнаружили новую — четвертую — пару крупных слюнных желез, о существовании которой ранее никто не подозревал.

Вчера, 12:21
4 минуты
Ольга Иванова

Международная группа ученых сделала рентгеновские снимки грудного отдела тела муравьев, проанализировав их мышцы и внутренний скелет. В результате исследователи выяснили, что сила этих насекомых связана с потерей способности летать.

4 часа назад
28 минут
Александр Березин

Потепление помогает главному лесу планеты — где проживает 10% всех существующих видов, — а вот биотопливо грозит ему гибелью. Эта неприятная правда неполиткорректна, поэтому СМИ переворачивают ее с ног на голову. Попробуем разобраться, как до этого дошло.

Вчера, 12:21
4 минуты
Ольга Иванова

Международная группа ученых сделала рентгеновские снимки грудного отдела тела муравьев, проанализировав их мышцы и внутренний скелет. В результате исследователи выяснили, что сила этих насекомых связана с потерей способности летать.

16 октября
6 минут
Василий Парфенов

Несмотря на устоявшееся мнение, согласно которому газотурбинные двигатели (ГТД) почти достигли технологического совершенства и прироста характеристик более чем на единицы процентов в новых моделях ждать не стоит, инженеры продолжают искать способы радикально их улучшить. Компания GE Aviation уже до конца 2020 года собирается представить предсерийные экземпляры своих революционных силовых установок, которые должны быть на 20% долговечнее, на 35% экономичнее и будут иметь улучшенную на 80% энерговооруженность, чем предыдущие аналогичные модели.

16 октября
52 минуты
Александр Березин

Одни говорят, что в мире миллионы тонн ядерных отходов и что их никогда не удастся надежно захоронить, в связи с чем Гринпис перекрывает железные дороги, по которым везут ядерные материалы, и требует свернуть всю ядерную отрасль в одночасье. Другие утверждают, что реальные ядерные отходы от деятельности АЭС во всем мире помещаются в куб со стороной десять метров. Как понять, кто прав, а кто — нет? И почему то, что для одних — «отходы», другие рассматривают как ценную инвестицию в будущее? Попробуем разобраться.

28 сентября
29 минут
Александр Березин

Сентябрь 2020 года принес в Закавказье войну — столкновение Азербайджана и Нагорного Карабаха получило большой размах, общее число жертв, судя по всему, уже перевалило за сотню, а Ереван и Баку объявили мобилизацию (в Азербайджане — частичную). Объективного смысла в войне для самих участников нет. Баку не победит, но и Армения от конфликта ничего не выиграет. Пользу конфликт, однако, объективно принесет Турции, а также тем, кто поставляет в Азербайджан оружие. Возникает вопрос: почему война оказалась возможна, несмотря на дружественную позицию России к Армении, и зачем на нее пошли в Баку? И есть ли у Еревана разумный выход из назревающей бойни?

16 октября
6 минут
Денис Гордеев

Люди со второй и четвертой группами крови с большей вероятностью переболеют Covid-19 в тяжелой форме.

1 октября
39 минут
Александр Березин

После советской эпохи атомные реакторы перестали запускать в космос, но сегодня все постепенно меняется. К атомной энергетике для марсианских колоний примеривается Илон Маск, проекты лунных АЭС прорабатываются в России — и все несмотря на то, что в космосе условия для солнечной энергетики лучше, чем на нашей планете. Что заставляет космическую отрасль все чаще думать об атомных реакторах? Как ни странно, дело в том, что и ядерная энергетика в космосе становится еще важнее, чем на Земле. Попробуем разобраться почему.

[miniorange_social_login]

Комментарии

3 Комментария

ulogin_vkontakte_229045557
05.08.2018
-
0
+
"Мы можем предложить уравнение, решения которого будут соответствовать той или иной фигуре, например, сферу описать как (x - a)2 + (y - b)2 = r2" . Разве это не уравнение окружности? Для сферы уравнение принимает вид (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2
01.08.2018
0
потерялся в переводе?: "4. Гипотеза Пуанкаре: ... Говоря строже, поверхности сферы и цилиндра гомеоморфны, а сферы и тора – негомеоморфны. ..."
ulogin_vkontakte_169666577
25.05.2018
-
0
+
Автор хотел объяснить просто, но в итоге его энтузиазма хватило лишь на первую задачу в виде ручек.
Подтвердить?
Лучшие материалы
Предстоящие мероприятия
Войти
Регистрируясь, вы соглашаетесь с правилами использования сайта и даете согласие на обработку персональных данных.

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: