• Добавить в закладки
  • Facebook
  • Twitter
  • Telegram
  • VK
  • Печать
  • Email
  • Скопировать ссылку
4 июля, 11:00
НИУ ВШЭ
2 460

Российские математики решили задачу Пола Чернова, поставленную 57 лет назад

❋ 5.1

В 1968 году американский математик Пол Чернов предложил теорему для приближенного вычисления полугрупп операторов — сложных конструкций, описывающих эволюцию многочастичных систем. Метод основан на последовательных приближениях, но скорость их сходимости оставалась неясной. Эту задачу впервые полностью решили математики из нижегородского кампуса НИУ ВШЭ, что открывает путь к более точным вычислениям в науке.

В НИУ ВШЭ решили задачу Пола Чернова, поставленную 57 лет назад / © Shubham Sharan, unsplash.com

Результаты опубликованы в престижном журнале Israel Journal of Mathematics (Q1). Во многих математических задачах и задачах теоретической физики необходимо точно вычислить сложные специфические значения — например, как быстро остывает чашка кофе, распространяется тепло в двигателе или как ведет себя квантовая частица. Исследования квантовых компьютеров и квантовых каналов передачи информации, случайных процессов и многих других важных для современной науки направлений требуют вычисления такого математического объекта, как полугруппа операторов. В основе таких вычислений лежит экспонента — одна из важнейших математических функций, выражаемая возведенным в степень числом е (примерно равным 2,718).

Однако в случае очень сложных систем, описываемых так называемыми неограниченными операторами, стандартные методы вычисления экспоненты (полугруппы операторов) перестают работать. В 1968 году американский математик Пол Чернов предложил элегантное решение этой проблемы — особый математический подход, известный сейчас как аппроксимации Чернова или черновские аппроксимации полугрупп операторов. Он позволял приближенно вычислять нужные значения экспоненты, последовательно строя все более точные математические конструкции.

Метод Чернова гарантировал, что последовательные приближения в итоге приведут к правильному ответу, но не показывал, с какой скоростью это произойдет. Проще говоря, было непонятно, сколько шагов необходимо, чтобы добиться нужной точности. Именно эта неопределенность мешала применять метод на практике.

Математики из нижегородского кампуса Высшей школы экономики Олег Галкин и Иван Ремизов решили эту задачу, над которой многие десятилетия бились ученые по всему миру. Им удалось получить общие оценки скорости сходимости, то есть описать, как быстро приближенные значения сходятся к точному результату в зависимости от выбранных параметров.

«Эту ситуацию можно сравнить с кулинарным рецептом. Пол Чернов указал необходимые шаги, но не объяснил, как именно подобрать оптимальные ингредиенты — вспомогательные функции Чернова, обеспечивающие наилучший результат. Поэтому нельзя было точно предсказать, с какой скоростью будет готово блюдо. Мы доработали этот рецепт и определили, какие ингредиенты подходят лучше всего, чтобы сделать метод более быстрым и эффективным», — объясняет один из авторов исследования, старший научный сотрудник Добрушинской лаборатории Института проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН и старший научный сотрудник Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ Иван Ремизов.

Галкин и Ремизов показали, что метод Чернова может работать значительно быстрее, если правильно выбрать вспомогательные функции Чернова. При удачном подборе таких функций приближение становится гораздо точнее уже на ранних этапах вычислений. Математики также доказали строгую теорему: если функция Чернова и приближаемая полугруппа имеют одинаковый многочлен Тейлора порядка k и при этом функция Чернова мало уклоняется от своего многочлена Тейлора, то разница между приближенным и точным значениями уменьшается как минимум пропорционально 1/n^k, где n — номер шага, а k — любое натуральное число, отражающее качество выбранных функций.

Если продолжать аналогию с рецептом, то ученым удалось не только уточнить, какие ингредиенты работают лучше всего, но и впервые точно оценить, насколько быстрее готовится блюдо, если использовать эти оптимальные продукты. А выведенная математиками формула по этой аналогии работает так: на каждом шаге приготовления результат становится точнее, а погрешность уменьшается пропорционально единице, деленной на n в степени k, где n обозначает номер шага в рецепте, а k зависит от качества выбранных ингредиентов. Чем выше k, тем быстрее доходит до готовности нужный результат.

Таким образом, отечественным математикам Олегу Галкину и Ивану Ремизову впервые удалось решить проблему, которая оставалась открытой более полувека. Полученный результат приносит ясность и открывает перспективы, а также позволяет поставить новые актуальные задачи, которые еще только предстоит решить. Хотя исследование носит теоретический характер, его значение выходит за рамки чистой математики. Такие результаты часто становятся основой для разработки новых численных методов в квантовой механике, теплопередаче, теории управления и других науках, где моделируются сложные процессы во времени.

Теорема Олега Галкина и Ивана Ремизова будет представлена онлайн 5 июля на Международной конференции «Теория функций и ее приложения». Запись выступления авторов и тезисы будут доступны на сайте конференции.

Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ и Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Российского научного фонда.

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl + Enter.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» — один из крупнейших и самых востребованных вузов России. В университете учится 54 тысячи студентов и работает почти 4,5 тысячи учёных и преподавателей. НИУ ВШЭ ведёт фундаментальные и прикладные исследования в области социально-экономических, гуманитарных, юридических, инженерных, компьютерных, физико-математических наук, а также креативных индустрий. В университете действуют 47 центров превосходства, или международных лабораторий. Вышка объединяет ведущих мировых исследователей в области изучения мозга, нейротехнологий, биоинформатики и искусственного интеллекта. Университет входит в первую группу программы «Приоритет-2030» в направлении «Исследовательское лидерство». Кампусы НИУ ВШЭ расположены в четырех городах — Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде и Перми, а также в цифровом пространстве — «Вышка Онлайн».
Подписывайтесь на нас в Telegram, Яндекс.Новостях и VK
Предстоящие мероприятия
12 июля, 22:10
Редакция Naked Science

Лето 2025 обещает насыщенную линейку научно-фантастических сериалов на ведущих стриминговых платформах. От адаптаций культовых романов до масштабных космических одиссей — мы отобрали проекты, на которые стоит обратить внимание.

14 июля, 10:19
Александр Березин

Фраза «понедельник — день тяжелый» несет больше смысла, чем можно подумать: в этот день действительно чаще случаются сердечные приступы и многое другое. Теперь исследователи показали, что такое влияние понедельники сохраняют даже после того, как человек прекратил ходить на работу.

14 июля, 11:29
ПНИПУ

Представьте мир, где извергаются серные вулканы высотой в 60 раз больше Эвереста, под 20-километровым льдом скрываются океаны, мощные гейзеры выбрасывают струи водяного пара в космос, а реки из жидкого метана стекают в углеводородные моря. Так выглядят спутники планет Солнечной системы. Ученый Пермского Политеха Евгений Бурмистров рассказал, почему они считаются самыми перспективными местами для поиска жизни и колонизации.

12 июля, 22:10
Редакция Naked Science

Лето 2025 обещает насыщенную линейку научно-фантастических сериалов на ведущих стриминговых платформах. От адаптаций культовых романов до масштабных космических одиссей — мы отобрали проекты, на которые стоит обратить внимание.

11 июля, 17:47
Денис Яковлев

Международная команда ученых оценила связь между длительностью физической активности, ее интенсивностью, риском смерти от всех причин и вероятностью развития сердечно-сосудистых и онкологических заболеваний.

9 июля, 08:26
Полина Меньшова

Подобрать тип физической активности, который лучше всего подходит человеку, можно исходя из особенностей его характера. Психологи из Великобритании определили, что люди с разными чертами личности получают больше удовольствия от разных видов спорта.

17 июня, 16:49
Адель Романова

Радиотелескопы уловили очень короткий сигнал, и по его характеристикам стало ясно, что он не может быть естественного происхождения. Астрономы пришли к выводу, что источник находился в околоземном пространстве — там, где уже более полувека летает «мертвый» аппарат NASA.

25 июня, 15:19
ФизТех

Группа российских ученых из Института прикладной математики имени М. В. Келдыша РАН и МФТИ провела детальное численное исследование источников шума, генерируемых крылом прототипа сверхзвукового бизнес-джета в режиме посадки. Эта работа, сочетающая передовые методы вычислительной гидродинамики и аэроакустики, впервые позволила с высокой точностью локализовать и охарактеризовать основные зоны шумообразования вблизи полноразмерной геометрии крыла модели прототипа сверхзвукового пассажирского самолета в посадочной конфигурации.

2 июля, 11:17
Юлия Тарасова

Результаты эксперимента в США в будущем могут позволить добиться разрешения на использование отработанной конопли в качестве кормовой добавки в животноводстве.

[miniorange_social_login]

Комментарии

Написать комментарий
Подтвердить?
Подтвердить?
Причина отклонения
Подтвердить?
Не получилось опубликовать!

Вы попытались написать запрещенную фразу или вас забанили за частые нарушения.

Понятно
Жалоба отправлена

Мы обязательно проверим комментарий и
при необходимости примем меры.

Спасибо
Аккаунт заблокирован!

Из-за нарушений правил сайта на ваш аккаунт были наложены ограничения. Если это ошибка, напишите нам.

Понятно
Что-то пошло не так!

Наши фильтры обнаружили в ваших действиях признаки накрутки. Отдохните немного и вернитесь к нам позже.

Понятно
Лучшие материалы
Закрыть
Войти
Регистрируясь, вы соглашаетесь с правилами использования сайта и даете согласие на обработку персональных данных.
Ваша заявка получена

Мы скоро изучим заявку и свяжемся с Вами по указанной почте в случае положительного исхода. Спасибо за интерес к проекту.

Понятно