• Добавить в закладки
  • Facebook
  • Twitter
  • Telegram
  • VK
  • Печать
  • Email
  • Скопировать ссылку
04.09.2019
Никита Шевцов
18 015

Математики из «Криптонита» смоделировали джозефсоновские контакты

Ученые наложили ограничения на решения уравнений, моделирующих джозефсоновские контакты, — перспективные элементы квантовых компьютеров.

ibm12-1_1
©Wikipedia / Автор: Pinaria Caprarius

Алексей Глуцюк из НИУ ВШЭ и Игорь Нетай из НПК «Криптонит» обратились к математическому описанию эффекта Джозефсона, активно используемого в сверхвысокочувствительных магнитометрах и кубитах квантовых компьютеров. Им впервые в истории изучения вопроса удалось описать границы языков Арнольда при моделировании физических процессов в джозефсоновских контактах. Кроме того, математики смогли наложить ограничения на род алгебраических кривых, критически важных для вычисления решений уравнений Гойна, — наиболее перспективного на сегодня математического инструмента для анализа поведения джозефсоновских контактов. Соответствующая статья принята к публикации в Journal of Dynamical and Control Systems, а с её препринтом можно ознакомиться на сайте Корнельского университета.

 

Джозефсоновскими называют контакты вида сверхпроводник-изолятор-сверхпроводник (часто сокращается как SIS). Толщина слоя диэлектрика в них подобрана так, чтобы сопротивление в нем пропадало, как только примыкающие к нему сверхпроводящие материалы охладятся до своей рабочей температуры. Физическая причина эффекта — «просачивание» способных к туннелированию электронов сквозь диэлектрик. 

 

Эффект Джозефсона интересен как типичный пример явления, которое было невозможно ни использовать, ни даже полноценно открыть без теоретических расчетов той же математики, уравнений, с помощью которых Джозефсон и предсказал его в 1962 году. Дело в том, что сам факт протекания сверхтока через вставку из диэлектрика, разделяющую сверхпроводники, наблюдался как минимум с начала 1930-х годов. Однако, не имея теоретического объяснения наблюдений, экспериментаторы описывали их как «короткие замыкания сверхпроводников» по аналогии с короткими замыканиями обычных. Лишь использование уравнений, описывающих, как именно туннелирование куперовских пар электронов позволяет им поддерживать сверхток в джозефсоновском контакте, изменило ситуацию. Из этого примера видно, что с самого начала практическое использование этого эффекта без математического обеспечения было невозможно.

 

Протекающий через джозефсоновские контакты ток чрезвычайно чувствителен к малейшим изменениям внешнего магнитного поля. Это свойство используется в конструкции СКВИДов — сверхпроводящих квантовых интерферометров (Superconducting Quantum Interference Device), лежащих в основе конструкции многих экспериментальных квантовых компьютеров.

 

В 2015 году первые кубиты на джозефсоновских контактах были построены и в России (МФТИ и Российским квантовым центром). Учитывая, какой эффект квантовые компьютеры с устойчиво работающими кубитами могут оказать на криптографию, научные вычисления и искусственный интеллект, исследования свойств джозефсоновских контактов приобрело большое практическое значение.

 

Математическое описание работы джозефсоновских контактов началось ещё до экспериментального обнаружения их существования. В 1962 году английский физик Брайан Джозефсон вывел дифференциальное уравнение, описывающее поведение подобного контакта (впоследствии названного в его честь). В его математической модели параметры контакта описываются двупараметрическим семейством обыкновенных дифференциальных уравнений на двумерном торе («растянутой» двумерной поверхности трехмерного «бублика»).

 

Однако у такой модели джозефсоновских контактов есть ряд ограничений: исходные джозефсоновские уравнения не имеют явных решений, по крайней мере таких, которые можно было бы записать в элементарном виде, с помощью элементарных функций (а насколько известно на сегодня, и с помощью спецфункций тоже). Это означает, что с его помощью сложно описать и предсказать целый ряд свойств, которые наблюдаются у этих контактов на практике. Соответственно, не имея таких явных решений, труднее и строить на основе подобных контактов квантовые компьютеры с предсказуемым поведением составляющих их когерентных кубитов.

 

В новой статье авторы использовали ранее установленный в работах других математиков факт: поведение джозефсоновских контактов и описывающее его уравнение Джозефсона можно свести к трехпараметрическому дважды конфлюэнтному уравнению Гойна. Ранее уже было показано, что для определенных значений исходных параметров в уравнениях Гойна конструируются явные решения, которые для базового уравнения Джозефсона отсутствуют. Но если его можно свести к уравнению Гойна, то эти решения могут быть использованы для исходного уравнения Джозефсона.

 

«При таком подходе, как и в других попытках математического поведения джозефсоновских контактов, исследуется динамическая система на торе, — объяснил Игорь Нетай — у которой есть три параметра: A, B и ω. Последний в новой работе принимался за постоянную».

 

После замены координат уравнение Гойна как раз и задает эту динамическую систему на торе. При этом физически интерпретируемой величиной остается число вращения параметров. При малых значениях ω (физически ей обычно соответствует джозефсоновская частота генерации, то есть интенсивность излучения фотонов джозефсоновским контактом, через который идет ток выше критического), можно перейти от базовой «гладкой» функции, описывающей поведение контакта без дискретизации, к функции, которая выглядит почти как кусочно-ступенчатая, с дискретизацией результата (числа вращения динамической системы). За счет этого можно дискретизировать сигнал с джозефсоновского контакта, что очень важно с практической точки зрения: дискретный сигнал легко измерить, а значит, и понять стоящие за ним физические процессы. 

 

Ранее в других работах было установлено существование так называемых языков Арнольда — геометрических областей фазового захвата, в которых число вращения динамической системы на торе, описывающей параметры джозефсоновских контактов, неизменно. Следует понимать, что область фазового захвата относится к пространству параметров математического описания джозефсоновских контактов. Тем не менее, описание это имеет прямое отношение к поведению самих контактов. 

 

Дело в том, что внутри каждого языка Арнольда, несмотря на изменения значений A и B, часть физических параметров поведения джозефсоновских контактов неизменна. А вот в пространстве между языками Арнольда эти физические параметры резко, скачкообразно изменяются. Как комментируют ситуацию сами авторы работы, было бы интересно знать границы этих областей фазового захвата.

 

Границы эти геометрически устроены довольно сложно. Игорь Нетай замечает: «Если комплексифицировать [рассмотреть уравнение с комплексными коэффициентами] используемое для описания уравнение Гойна, то оказывается, что такие границы — это объединение всего четырех аналитических комплексных многообразий». Новая работа стала первым исследованием, в котором удалось это выяснить, и в теории это заметно упрощает математическое представление границ языков Арнольда, что является довольно значимым результатом.

 

Другой важный итог работы — исследование семейств явных решений (полиномиальных решений) уравнения Гойна. Множество точек, которыми параметризуются решения уравнений Гойна, — это алгебраические кривые (множество нулей многочлена от двух переменных). Авторы с помощью вычислений ограничили род алгебраических кривых, параметризующих явные решения уравнения Гойна. Как известно, родом алгебраической кривой называют род её римановой поверхности, и его выявление также существенно упрощает математическое описание физического поведения джозефсоновских контактов с помощью уравнений Гойна.

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl + Enter.
Подписывайтесь на нас в Telegram, Яндекс.Новостях и VK
Вчера, 20:00
Ольга Иванова

Ученые из Австралии и Канады пришли к выводу, что подавляющее большинство одиноких людей не вступает в романтические отношения из-за страха. С одной стороны ими руководят опасения, что их отвергнут, с другой — что они потеряют свою независимость.

Вчера, 18:01
Алиса Гаджиева

Авторы нового исследования изучили геномы людей, живших на территории Аварского каганата времен его расцвета, и составили их родословные.

Позавчера, 15:20
Андрей

Экологи из Китая подсчитали, как изменились площади оазисов в мире с 1995 по 2020 год. Исследователи также выяснили, в каком регионе оазисных территорий больше всего, в каком темпе происходят изменения и чем на этих землях занимается человек.

Вчера, 20:00
Ольга Иванова

Ученые из Австралии и Канады пришли к выводу, что подавляющее большинство одиноких людей не вступает в романтические отношения из-за страха. С одной стороны ими руководят опасения, что их отвергнут, с другой — что они потеряют свою независимость.

21 апреля
Мария Азарова

Авторы нового исследования выявили три фактора, ответственные за так называемый алкогольный блэкаут — распространенное последствие употребления спиртных напитков, когда человек сталкивается с провалами в памяти.

22 апреля
Полина Меньшова

Большему количеству учеников, чем когда-либо, трудно осваивать школьную программу. Это связано с низким уровнем развития рабочей памяти и неумением планировать время, считает педагог Алекс Куигли. В новой книге он дал практические рекомендации для учителей, которые помогут сделать работу в классе более продуктивной.

8 апреля
Василий Парфенов

Режим работы, количество трудовых часов в неделю и экономическую стабильность профессии прочно ассоциируют с благополучием человека. Количественно и качественно определить эти взаимосвязи получается редко — нужны большие выборки респондентов и длительное время наблюдений. Автор новой научной работы использовал долговременное исследование более чем семи тысяч американцев, чтобы выявить основные эффекты паттернов трудовой деятельности на психическое и физическое здоровье работающих людей.

Вчера, 20:00
Ольга Иванова

Ученые из Австралии и Канады пришли к выводу, что подавляющее большинство одиноких людей не вступает в романтические отношения из-за страха. С одной стороны ими руководят опасения, что их отвергнут, с другой — что они потеряют свою независимость.

28 марта
Игорь Байдов

Американская компания JetZero, которая обещает произвести фурор в гражданской авиации, получила сертификат летной годности на испытания уменьшенной копии разрабатываемого ею сверхэффективного реактивного авиалайнера со «смешанным крылом». Предстоящая программа летных испытаний будет направлена на оценку летно-технических характеристик самолета, его устойчивости и управляемости.

[miniorange_social_login]

Комментарии

Написать комментарий

Подтвердить?
Подтвердить?
Причина отклонения
Подтвердить?
Не получилось опубликовать!

Вы попытались написать запрещенную фразу или вас забанили за частые нарушения.

Понятно
Жалоба отправлена

Мы обязательно проверим комментарий и
при необходимости примем меры.

Спасибо
Аккаунт заблокирован!

Из-за нарушений правил сайта на ваш аккаунт были наложены ограничения. Если это ошибка, напишите нам.

Понятно
Что-то пошло не так!

Наши фильтры обнаружили в ваших действиях признаки накрутки. Отдохните немного и вернитесь к нам позже.

Понятно
Лучшие материалы
Войти
Регистрируясь, вы соглашаетесь с правилами использования сайта и даете согласие на обработку персональных данных.
Ваша заявка получена

Мы скоро изучим заявку и свяжемся с Вами по указанной почте в случае положительного исхода. Спасибо за интерес к проекту.

Понятно
Ваше сообщение получено

Мы скоро прочитаем его и свяжемся с Вами по указанной почте. Спасибо за интерес к проекту.

Понятно

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: