Как на необитаемом острове, имея в своем распоряжении только ручей с водой, моток веревки и подручные материалы вроде палок и камней, можно с помощью законов физики с минимальной погрешностью определить длину, время и вес?

Сначала краткий ответ: это можно сделать с помощью своего роста (вот вам длина), частоты пульса (вот вам время), а вот с массой ничего не получится.

А теперь — подробнее! Все разговоры о вычислении радиуса Земли по теням, определении секунды по колебаниям маятника и прочая ментальная эквилибристика не имеют никакого отношения к реальному миру. И вот почему:

1) реальная верёвка растягивается по меньшей мере на несколько процентов. А также садится при стирке, то есть верёвка после кораблекрушения у вас будет уже неизвестно какой длины, и к тому же эта длина будет постоянно меняться. Погрешность, вносимая растяжением-сокращением верёвки, превышает погрешности, вносимые неточностью измерений роста. Единственное, на что годна верёвка — получать дольные единицы длины. И, главное, зачем вообще нам именно метры?

Сделать, скажем, угольник с соотношением сторон 3:4:5 и прямым углом (т.н «египетский треугольник») можно из 12 любых одинаковых отрезков произвольной длины. Сделать простую утварь, мебель, постройку — тут тоже размерность именно в метрах не нужна. Необходимость в измерениях возникает в сложных социальных проектах, где из разных мест разные люди привозят разные материалы и детали, но это не про наш остров. Сами метры неспроста появились лишь в конце XVIII века, до этого всем хватало локальных произвольных мер длины, объема, площади и массы. Причем, скажем, «десятина» — это вообще не какой-нибудь квадратный аршин или 100 квадратных аршинов — это лишь стандартный для данной местности участок. Где-то 80х30, где-то 60х40 саженей, в некоторых случаях вообще 100х100. Причем саженей этих было с десяток самых разных — то есть даже намного более продвинутые, чем «необитаемый остров», сообщества не нуждались в мерах точнее маховой сажени («расстояние в размах обеих рук, по концы средних пальцев»).

Так что чем городить огород с вычислением стандартного метра по длине меридиана и астрономическим наблюдениям — лучше заняться чем-нибудь более практичным. Тем более что точность первых измерений окружности Земли (если что, метр — это одна сорокамиллионная меридиана, именно так его хотели определить во времена Французской революции) была на уровне десятков процентов. Проще и точнее взять свой рост и отсчитать метр от него путем многократного сложения верёвки.

Вот вам пример: во мне 172 см. Округляем до 17 дм, складываем отрезанную по росту верёвку в 17 раз, далее отмеряем 10 отрезков и переносим отметки на палку или, ещё лучше, камень — быстрый эталон метра с погрешностью в несколько процентов готов!

2) В какой задаче вообще может потребоваться измерение времени с точностью до секунд на необитаемом острове? Изготовить точные часы из подручных средств нереально — человечество пришло к мало-мальски нормальным механическим часам лишь несколько столетий назад, имея уже весьма совершенные станки и качественный металл. Из палок, камней и верёвок часы строятся лишь в мире задачника по физике для седьмого класса с плоской Землёй и без сил трения. Да, есть формула для периода колебаний маятника — но наша верёвка из не пойми чего с грузиком не является таким маятником. А даже имея, скажем, тоненькую леску и тяжёлую гайку (это хорошее приближение к математическому маятнику) мы столкнемся с тем, что колебания быстро затухают.

И снова полезная историческая деталь — до конца XIX века люди жили без часовых поясов, каждый населенный пункт выставлял свой полдень. Синхронизация часов и измерение времени с точностью до минут пришли лишь с появлением железных дорог. Большинство людей жило и работало вовсе без часов — отсюда практика фабричных гудков, будивших рабочих на смену. Но если нет ни завода, ни прибывающего поезда — зачем нам вообще точное время?

3) Аналогично с массой — для чего знать массу в килограммах? Не соотношение масс, а именно точное значение в килограммах? Гипотетически, конечно, можно сделать кубик с ребром 10 см, заполнить водой и получить довольно неплохой (плюс-минус проценты) эталон килограмма. Но зачем? Сконструировать весы — снова не самая тривиальная задача, а что нам это даст? Взвешивание имеет смысл при торговле и в продвинутых технологических или медицинских задачах, однако по условию задачи мы одни на необитаемом острове. У нас нет ни торговли, ни приготовления цементного раствора (да и в этом случае нужны не килограммы, а соотношение масс!), ни наблюдения за развитием ребенка.

Даже в обычном мире, приехав, скажем, в США — мы обычно не будем считать всё в килограммах и литрах. Мы возьмем местный рецепт и используем фунты с унциями и квартами — потому что для хорошо приготовленной еды важно не абсолютное значение. Важно соотношение, а на необитаемом острове его можно задать хоть в массах попугая, хоть в массах понравившегося булыжника. Не говоря уж о том, что точные рецепты — это снова обычно продукт весьма высоких технологий, а простые кушанья и глиняный раствор для обмазки стен хижины делаются без измерений.