Правда ли, что нельзя подключать к сети прибор, не вынимая из него батарейки, и использовать приборы, которые могут работать как от батареек, так и от сети? Если правда, то почему?

Краткий ответ: надо обязательно читать инструкцию, потому что устройства бывают самые разные. По этой же причине некое универсальное правило вывести тоже не получится. Но можно попробовать описать спектр возможных ситуаций и предпочтительных решений.

Дисклеймер: любые действия с электроприборами необходимо осуществлять строго в соответствии с руководством пользователя к ним и рекомендациями производителя. Найти инструкции и регламенты почти всегда можно в интернете, или же напрямую запросив их у производителя (вендора). Как говорят в космонавтике — better safe than sorry, то есть потерять полдня на поиски инструкции лучше, чем потерять половину квартиры в пожаре. Все, что делается без учета или вопреки инструкциям производителя — делается на свой страх и риск, и никто, кроме совершающего эти действия, за это не в ответе. Помните, что взаимодействие с электроприборами всегда сопряжено с риском для здоровья и жизни.

Полный ответ: Судя по всему, речь в вопросе идет об электронике, которая одновременно имеет как отсек под стандартизированные элементы питания («батарейки» типоразмеров AA, AAA, C, D и тому подобные), так и вход для внешнего блока питания (AC in/DC in). Это, например, некоторые модели тонометров, мультимедийных центров, музыкальных инструментов, походных фонарей и детских игрушек.

В ряде случаев, когда речь идет о технике вроде ноутбуков и смартфонов, которая работает от литиевых аккумуляторов (зачастую несъемных), по умолчанию допустимо использование при одновременном подключении внешнего питания и батареи. Для лития в принципе необходимы интеллектуальные цепи питания, обязательно имеющие некий байпас (обход аккумулятора) того или иного типа.

Следовательно, ответ наш будет в основном про приборы с батарейками и блоком питания. Самым безопасным поведением будет извлечение элементов питания перед подключением к сети. Во избежание любых рисков. Если батарейки забыли внутри перед подключением, и устройство так работало какое-то время, то нужно проверить, не нагрелись ли элементы питания. Если нет — все в порядке, ничего страшного не произошло, цепи тем или иным способом развязаны. Если да — лучше больше так не делать, а эти батареи утилизировать. Последний вариант означает, что прибор подавал на них напряжение, а это вообще-то крайне нежелательно и потенциально может привести к пожару.

Отдельная история — аккумуляторы типоразмеров AA, AAA, C, D. Встречаются устройства, которые умеют их заряжать при подключении внешнего питания (например, некоторые CD-плееры). Это тоже лучше проверять в инструкции, иначе возможны эксцессы вроде испорченных аккумуляторов или сгоревших цепей питания. Зато порог урона, который неправильное подключение может нанести в данном случае, куда ниже. Если на аккумуляторы будет поступать напряжение, они просто начнут не совсем правильно заряжаться и могут временно потерять часть емкости.

Из соображений безопасности прибор с двумя режимами питания должен иметь механический или электронный (иногда — автоматический) переключатели между ними. Это будет кнопка или рычажок, расположенные, возможно, в каком-нибудь малозаметном месте на корпусе. Альтернатива — физическая невозможность подключения внешнего питания при установленных батареях, реализованная, например, путем размещения разъема для блока питания под ними. Проще говоря, если для подключения прибора к сети без извлечения батареек пришлось поломать голову или применить силу — вы делаете что-то не так.

В заключение: пока речь идет о бытовых приборах малой мощности, катастрофические последствия при неправильном подключении маловероятны. Главное, не оставлять их без присмотра. Даже если устройство нельзя было включать в сеть при наличии батареек внутри, но его все равно вставили в розетку, максимум, что произойдет в краткосрочной перспективе — элементы питания выйдут из строя. Но продолжительная работа в таком режиме действительно опасна — просто из-за риска перегрева батарей и потенциального их разрушения (с теоретической вероятностью возгорания).