Водород, простейший элемент Вселенной, хранит в себе ключи к пониманию материи в экстремальных состояниях. В недрах звезд, в установках управляемого термоядерного синтеза или в экспериментах с лазерным сжатием вещество существует в форме плазмы — раскаленного «супа» из ионов и электронов. Чтобы предсказать поведение такой плазмы, необходимо знать ее фундаментальные свойства: уравнение состояния, степень ионизации, механизм образования атомов и молекул. Теоретически рассчитать эти параметры для неидеальной плазмы чрезвычайно сложно из-за необходимости учитывать квантовые эффекты и коллективные взаимодействия между огромным числом частиц.
Золотым стандартом здесь считается квантовый метод Монте-Карло с интегралами по траекториям, который дает очень точные результаты. Однако его цена — колоссальные вычислительные затраты при попытке описать системы, состоящие из большого количества частиц.
Поэтому для изучения плазмы в режиме, в котором квантовое вырождение электронов мало, ученые часто используют более быстрые квазиклассические методы. В этих симуляциях частицы движутся по классическим траекториям, но их взаимодействие описывается не обычным кулоновским потенциалом, а особыми «псевдопотенциалами», которые учитывают в модели квантовый принцип неопределенности и обменное взаимодействие.
Один из самых известных таких псевдопотенциалов был предложен Гюнтером Кельбгом еще в 1960-х годах и многократно использовался для описания горячей плазмы. Позже он был улучшен, чтобы корректно учесть низкотемпературное поведение системы. Но и у улучшенного потенциала Кельбга обнаружился серьезный изъян. При моделировании водородной плазмы при температурах менее 50 тысяч градусов в симуляции системы начинали формироваться не существующие в природе стабильные кластеры, в которых множество электронов и протонов оказывались связаны в одну компактную структуру. Это приводило к катастрофическому занижению значений энергии в симуляциях по сравнению с более точными расчетами.
Российские исследователи поставили перед собой задачу найти источник этой проблемы и модифицировать метод молекулярной динамики так, чтобы избавиться от артефакта кластеризации, но сохранить вычислительную эффективность подхода. Работа опубликована в журнале Physics of Plasmas, исследование поддержано Российским научным фондом (грант №24-19-00746).
Ученые предположили, что проблема кроется в недостаточно строгом учете принципа Паули для электронов с одинаковой проекцией спина. В существующей формуле для силы их отталкивания неявно предполагалось, что электроны — точечные частицы. Однако на квантовом уровне электрон «размазан» в пространстве с характерным размером, известным как тепловая длина волны де Бройля.
Когда два таких «размазанных» электрона с одинаковой проекцией спина сближаются, их эффективное расстояние для кулоновского взаимодействия становится меньше, чем расстояние между центрами их волновых пакетов, что должно усиливать отталкивание.
Чтобы исправить неправильное поведение, физики ввели в формулу для силы отталкивания между такими электронами эмпирический множитель. Физический смысл модификации прост: сила рассчитывается так, будто электроны находятся не на расстоянии r друг от друга, а на расстоянии (r − αλ), где λ — их тепловая длина волны, а α — подобранный параметр порядка единицы.
Эта поправка, хоть и не имеет строгого теоретического вывода, дает существенный вклад только в области малых расстояний порядка λ, в которой квантовые эффекты значительны. На больших расстояниях сила плавно переходит в обычное кулоновское отталкивание. С его помощью поведение системы стабилизируется.
Георгий Демьянов, старший преподаватель кафедры физики высокотемпературных процессов МФТИ, так объяснил суть нового подхода: «Можно сказать, что в нашем подходе учитывается характерный размер электронов при их взаимодействии. В результате эффективное отталкивание между электронами с одинаковой проекцией спина начинает проявляться на бо́льших расстояниях между частицами, чем в исходной модели. Такая модификация предотвращает образование в моделировании искусственных нарушающих принцип Паули связанных состояний».
Ученые провели масштабные серии расчетов методом молекулярной динамики с модифицированным псевдопотенциалом для невырожденной водородной плазмы с малым параметром вырождения. Как и ожидалось, при температурах выше 50 тысяч градусов расхождения между предложенным и более точным квантовым методом Монте-Карло оказались минимальными — менее 1% для энергии и давления.
Однако по мере снижения температуры расхождения нарастали, и в самой холодной рассмотренной точке энергия из модели молекулярной динамики оказалась занижена на десятки процентов. При этом анализ радиальных функций распределения ясно показал, что виной этому уже не образование гигантских кластеров — их характерный пик на графиках отсутствовал. Проблема, по мнению авторов, заключается в том, что хотя улучшенный псевдопотенциал Кельбга правильно аппроксимирует энергию взаимодействия, соответствующая ему сила может заметно отклоняться от точной, что при низких температурах приводит к избыточному притяжению между электронами и протонами и, как следствие, к завышенному образованию молекул в симуляциях.
Павел Левашов, заведующий кафедрой физики высокотемпературных процессов МФТИ, прокомментировал этот результат: «Анализ выявил важное методическое ограничение используемой модели. Модификация силового взаимодействия позволила устранить нефизичное сближение электронов с одинаковой проекцией спина, однако дальнейшее сравнение с квантово статистическими расчетами показало, что для более точного воспроизведения свойств системы требуется уточнение формы эффективного парного потенциала, а именно его градиента».
Предложенная модификация сил стабилизирует моделирование и позволяет исследовать структуру водородной плазмы в ранее труднодоступном низкотемпературном режиме; при этом метод значительно менее вычислительно затратен, чем квантовый метод Монте Карло, и может использоваться для масштабных параметрических расчетов уравнения состояния водородной и дейтериевой плазмы, важных для задач астрофизики и инерциального термоядерного синтеза, тогда как дальнейшие исследования направлены на проверку гипотезы о расхождении градиента псевдопотенциала с точным взаимодействием и на обобщение предложенной модификации сил на более сложные многокомпонентные плазменные системы, включая симуляции с переменным числом частиц для более надежного определения термодинамического предела.